# 数列极限

1. 原题如下$a_n=ln(\frac{1}{3})+ln(\frac{2}{4})+ln(\frac{3}{5})+...+ln(\frac{n}{n+2})$ .

   • 有上界无下界
   • 有下界无上界
   • 无上界无下界
   • 有上界有下界

   将 $lnx$ 除法改写为加减法，得到 $ln1+ln2-ln(n-1)-ln(n-2)$
   $ln1+ln2-ln(n-1)-ln(n-2) = \ln(\frac{2}{n^2+3n+2}) \le 0$
   由于 $n^2+3n+2>\frac{2}{e^m}$, 所以 $\ln(\frac{2}{n^2+3n+2}) \le m$, 故 $a_n$ 无下界.

2. 数列 $x_n$, $y_n$ 满足 $x_{n+1} \ge \frac{2X_n}{\pi}$, $0 < y_{n+1} \le \frac{2Y_n}{\pi}$, $n = 1,2,3,...,n$. 已知$x_1=y_1=\frac{1}{2}$, 当$n\to \infty$ .

   • $y_n$ 与$x_n$ 为同阶无穷小
   • $y_n = o(x_n)$ 但不一定$=o(x^2_{n})$
   • $x_n = o(y_n)$ 但不一定$=o(y^2_{n})$
   • $y_n = o(x_n^2)$ 但不一定$=o(x^3_{n})$

大道五十，天衍四十九，人遁其一！